Question

已知函数f(x)=x-

1

2

a(x-1)2-lnx，其中a∈R．
（1）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（2）若?x＞0，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f/(x)=1-a(x-1)-

1

x

，
因为x=2是f（x）的极值点，所以f′（2）=0，
即1-a(2-1)-

1

2

=0解得a=

1

2

；
（2）依题意x-

1

2

a(x-1)2-lnx≥1，即a（x-1）²≤2（x-1-lnx），x＞0，
①当x=1时，a（x-1）²≤2（x-1-lnx）恒成立，a∈R；
②当x＞0且x≠1时，由a（x-1）²≤2（x-1-lnx），得a≤

2(x-1-lnx)

(x-1)2

，
设g（x）=x-1-lnx，x＞0，g′（x）=1-

1

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时g′（x）＞0，
所以?x＞0，g（x）≥g（1）=0，
所以，当x＞0且x≠1时，

2(x-1-lnx)

(x-1)2

＞0，从而a≤0，
综上所述，a的取值范围为（-∞，0]．