Question

8．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+na_n=a_n²+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，把n=1，2，3分别代入可求a₂，a₃，a₄的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a_n的一个通项公式．
（2）a_n=n+1的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，进而论证n=k+1时，等式依然成立，最终得到等式a_n=n+1恒成立．

解答 解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（2）故猜想a_n=n+1；
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2=1+1，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即a_k=k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1=（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是说，当n=k+1时，a_k+1=（k+1）+1
据①和②，对于所有n≥1，有a_n=n+1．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．