题目内容

设f（x）=lnx
（1）设 $数学公式$ ，求F（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

解：（1）由题意可得： $\text{[math]}$ ，
所以函数的定义域为：（-2，-1）∪（-1，+∞），
所以 $\text{[math]}$ ，
令F'（x）＞0，得单调增区间：（-2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，+∞）；
令F'（x）＜0，得单调减区间： $\text{[math]}$ ，-1）和（-1， $\text{[math]}$ ，
所以F（x）的单调增区间为：（-2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，+∞）；单调减区间为： $\text{[math]}$ ，-1）和（-1， $\text{[math]}$ ．
（2）不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4化为：ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²-3m+4，
即整理可得： $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，
所以只需求 $\text{[math]}$ 的最大值≤-m²-3m+4即可，
因为 $\text{[math]}$ 在[0，1]上单调递减，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 在x=0处取得最大值0，
于是得到-m²-3m+4≥0即：m²+3m-4≤0，
解得：-4≤m≤1
∴m的取值范围是：[-4，1]．
分析：（1）先求出函数的解析式，再求出函数的导函数，分别令导函数大于0，小于0，其对应的区间分别为函数f（x）的单调增区间与单调减区间．
（2）首先分离出参数，再令 $\text{[math]}$ ，然后把恒成立问题转化为求最值问题，再利用函数的性质得到函数的单调性，进而求出其最大值，进而求m的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的性质，如单调性与函数的最值，以及不等式的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题时要认真审题，仔细解答．