Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）
（1）求g（x）的单调区间及极小值．
（2）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系．

Answer 1

分析：（1）对g（x）求导数g′（x），利用g′（x）判定g（x）的单调区间与求极值；
（2）作差比较g（x）与g（

1

x

）的大小，可通过构造函数h（x）=g（x）-g（

1

x

），判定h（x）的单调性与取值范围，从而确定g（x）、g（

1

x

）的大小．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx（x＞0），∴f′（x）=

1

x

；
∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
x＞1时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
∴g（x）有极小值是g（1）=1，单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）；
（2）∵g（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x（x＞0），
∴g（x）-g（

1

x

）=2lnx+

1

x

-x（x＞0）；
令h（x）=2lnx+

1

x

-x（x＞0），
则h′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

2x-1-x2

x2

=

-(x-1)2

x2

≤0，
∴h（x）是（0，+∞）上的减函数；
又∵h（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，g（x）＞g（

1

x

）；
当x=1时，h（x）=0，g（x）=g（

1

x

）；
x＞1时，h（x）＜0，g（x）＜g（

1

x

）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性求极值和解不等式的有关问题，是中档题．