题目内容
已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，求函数f（x）的解析式．
解：∵函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的对称轴为x=
=1，可得x=-
=1①，
∵函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可得g（x）=ax2+（b-1）x，
∴△=（b-1）2-4a×0=0，可得b=1代入①得，
∴-
=1，可得a=-
，
∴f（x）=-x2+x；
分析：函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），可以求出f（x）的对称轴，再根据函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可以求出f（x）的解析式；
点评：此题主要考查函数的零点的问题以及解析式的求法，还考查函数的对称轴的性质，此题是一道基础题；
∴f（x）的对称轴为x=
=1，可得x=-=1①，∵函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可得g（x）=ax2+（b-1）x，
∴△=（b-1）2-4a×0=0，可得b=1代入①得，
∴-
=1，可得a=-，∴f（x）=-
x2+x；分析：函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），可以求出f（x）的对称轴，再根据函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可以求出f（x）的解析式；
点评：此题主要考查函数的零点的问题以及解析式的求法，还考查函数的对称轴的性质，此题是一道基础题；
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