Question

(本小题满分14分) 设圆,将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C.经过点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),交曲线C于A、B两个不同点.

(1)求曲线的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

【解析】解:(1)在曲线上任取一个动点P(x,y),则点(x,2y)在圆上.所以有.整理得曲线C的方程为.

它表示一个焦点在x轴上的椭圆.                               …………4分

 (2)∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,

∴直线的方程为.                                      …………6分

由,                              …………7分

∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，     …………8分

解得.∴m的取值范围是.    …………10分

(3)设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可.

设

,可得 .……12分

.

k₁+k₂=0.故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.                 …………14分