Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：对任意.

Answer 1

解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝＋2ax＝.

当a  ≥  0时，故f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增加；

当a  ≤ －1时，f′(x)＜0，故f(x)，在(0，＋∞)上单调减少；

当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.

则当x∈(0，)时，f′(x)＞0；x∈( ，＋∞)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(0, )上单调增加，在( ，＋∞)上单调减少．

(2)证明：不妨假设x₁≥x₂.

由(1)知当a≤－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调减少，

所以|f(x₁)－f(x₂)|  ≥   4|x₁－x₂|等价于f(x₂)－f(x₁)  ≥   4x₁－4x₂，

即f(x₂)＋4x₂  ≥   f(x₁)＋4x₁.令g(x)＝f(x)＋4x，

则g′(x)＝＋2ax＋4＝.于是g′(x)≤  ＝≤  0.

从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x₁)  ≤  g(x₂)，即f(x₁)＋4x₁≤   f(x₂)＋4x₂，

故对任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，|f(x₁)－f(x₂)|  ≥   4|x₁－x₂|.