Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，且.点

是棱的中点，平面与棱交于点.

（1）求证：∥；

（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：对于（1），先根据菱形的性质得到，进而得到面，接下来根据四点共面，且平面平面，即可得到结论；对于（2），取中点，连接，根据等腰三角形的性质以及线面垂直的知识得到，进而根据菱形的性质得到，建立空间直角坐标系，利用向量运算解决.

试题解析：（1）证明：因为底面是菱形，所以.

又因为面，面，所以面.

又因为四点共面，且平面平面，

所以.

（2）取中点，连接.因为，所以.又因为平面平面，且平面平面， 所以平面.所以.在菱形中，因为是中点，所以.

如图，建立空间直角坐标系.设，

则.

又因为，点是棱中点，所以点是棱中点.所以.所以.

设平面的法向量为，则有所以

令，则平面的一个法向量为.

因为平面，所以是平面的一个法向量.

因为，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.