Question

（本小题满分13分）

设数列的前n项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”。

   （1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

   （2）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。

Answer 1

解：（1）设等差数列的公差为，，因为，

则，即． 

整理得，．                 ………………4分

因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．　…… 6分

故数列的通项公式是．                  　　　　　…………7分

       ⑵ 由已知，当时，．因为，所以． 　　…………8分

当时，，．

两式相减，得．

因为，所以=．                   　…………10分

显然适合上式，所以当时，．

于是．

因为，则，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

所以不为常数，故数列不是“科比数列”． ……13分