题目内容
已知圆M：(
+
)2+y2=36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
,
.
(1)求点G的轨迹C的方程；
(2)过点(2，0)作直线
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等(即
)?若存在，求出直线的方程；若不存在。说明理由。
解：(1)由
得Q为PN的中点且GQ⊥PN，所以GQ为PN的中垂线．
因此|PG|=|GN|，从而|GN| + |GM|=|MP|=6，
故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长
=3，半焦距
，
所以短半轴长b=2，所以点G的轨迹方程是
．
(2)因为
，所以四边形OASB为平行四边形．
若存在直线
使得
，则四边形OASB为矩形，所以
．
若直线的斜率不存在，直线的方程为
=2，
由
，得
所以
，这与
矛盾，
故直线的斜率存在．
设直线的方程为y=k(－2)，A(1，yl)、B(2，y2)，
由
得
(9k2+4) 2－36k2+36(k2―1)=0．
所以
，
①
故
②
把式①、②代入
，解得
．
∴存在直线：3－2y－6=0或3+2y－6=0
使得四边形OASB的对角线相等．
练习册系列答案
相关题目
)2+y2=
,若椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为
.
)2+y2=
,若椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为
.
+
)2+y2=36，定点N(
，
=0．
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，
，是否存在这样的直线
)?若存在，求出直线