Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点p（2，0），且在点p处有相同的切线．
（1）求实数a，b，c
（2）设函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[2，m]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（II）欲求函数F（x）=f（x）+g（x）在[2，m]上的最小值．先求函数F（x）的单调区间，利用导数来解决．先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，再判断[2，m]的单调性从而求出最小值．

解答：解：（1）因为函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点p（2，0），
所以f（2）=0，即2×2³+2a=0，a=-8①；g（2）=0即4b+c=0②，
又f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx，
因为f（x），g（x）在点p处有相同的切线，所以f'（2）=g'（2），
即24+a=4b③由①②③得a=-8，b=4，c=-16．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=2x³+4x²-8x-16，F‘（x）=6x²+8x-8，
解不等式F‘（x）=6x²+8x-8≥0得x≤-2或x≥

2

3

；
F′（x）=6x²+8x-8≤0得-2≤x≤

2

3

故单调增区间为（-∞，-2]，[

2

3

，+∞），单调减区间为[-2，

2

3

]，
因此，[2，m]是增区间，F（x）的最小值为F（2）=16+16-16-16=0，
故F（x）在[2，m]上的最小值为0．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性，最值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．