Question

（2006•崇文区二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=CC₁，点D、E分别为CC₁和BC中点．
（Ⅰ）求二面角C-AB-D 的大小；
（Ⅱ）求证AB₁⊥BD；
（Ⅲ）求AD与平面AEB₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中点P连DP，CP．可得∠DPC是二面角C-AB-D的平面角．解三角形DPC可得二面角D-AB-C的大小
（Ⅱ）根据已知先证得BD⊥平面AB₁E，进而由线面垂直的性质得到AB₁⊥BD
（Ⅲ） 设 BD∩B₁E=O，连AO．可得∠DAO是AD与平面AEB₁所成的角．解三角形可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）取AB中点P连DP，CP．
∵△ABC为正三角形，
∴CP⊥AB．
又∵CC₁⊥平面 ABC，
∴DP⊥AB．
∴∠DPC是二面角C-AB-D的平面角．
∴tan∠DPC=

CD

CP

=

a

3 a

=

3

3

，
∴∠DPC=30°，
∴二面角D-AB-C的大小为30⁰．-------------------4
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴△ABC为正三角形．
∵E为BC中点，
∴AE⊥BC．
而平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BC为交线，
∴AE⊥平面BB₁C₁C．
∴AE⊥BD
又 BC=CC₁，D为CC₁，
∴△BCD≌△B₁BE，∠DBC=∠EB₁B．
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴BD⊥B₁E．
又∵AE∩B₁E=E，AE，B₁E?平面AB₁E
∴BD⊥平面AB₁E
又∵AB₁?平面AB₁E
∴AB₁⊥BD．-------------------------------------------9
（Ⅲ） 设 BD∩B₁E=O，连AO．
∵BD⊥B₁E．AB₁⊥BD．B₁E 与 AB₁相交，
∴BD⊥平面AEB₁．
∴AO是AD在平面AEB₁内的射影，
∴∠DAO是AD与平面AEB₁所成的角．
设 BC=2a，则BD=AD=B₁E=

5

a．
∴BO=

a×2a

5 a

=

2 5 a

5

，DO=

5

a-

2 5 a

5

=

3 5 a

5

．
∴sin∠DAO=

OD

AD

=

3

5

．-----------------------------------14

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，是空间线面关系的综合应用，难度中档．