题目内容

已知函数，(x＞0)．

(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明综合结论；

(2)若当x＞0时，恒成立，求正整数k的最大值．

答案：
解析：

(理)(1)

∵－x＞0，∴，，ln(x＋1)＞0，∴．

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

(2)当x＞0时，恒成立，令x＝1有k＜2(1＋ln2)．

又k为正整数，∴k的最大值不大于3，下面证明当k＝3时，

(x＞0)恒成立．即证明当x＞0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立，

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，则．

∴当x＞e－1时，；当0＜x＜e－1时，；

当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0，

当x＞0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．

因此正整数k的最大值为3．


练习册系列答案
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已知函数f(x)=
|lgx|(0＜x＜10)
(x-20)2
100
(x≥10)
，若a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是
（300，400）
（300，400）
．
（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）求f1（x），f2（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为[0，
π
2
]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．
（2011•临沂二模）已知函数y=
x
（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2-x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（　　）

（08年周至二中三模理） 已知函数f (x)（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若，则 （   ）       

（A）    （B）

（C）     （D）前三个判断都不正确

(14分)已知函数,（ x>0）．

（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；

（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范围．

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