Question

设0＜a＜，求证：1＜sin a＋cos a≤．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵sina=，cosa＝(r＞0)，∴sin a＋cos a＝． 如下图，在Rt△中有x＋y＞r∴＞1． 又∵x2＋y2≥2xy，∴(x2＋y2)＋(x2＋y2)≥2xy＋(x2＋y2)，即2(x2＋y2)≥ (x＋y)2． ∵x2＋y2＝r2，∴2r2≥(x＋y)2≥0，r≥x＋y，∴≤ 综上所述，1＜≤，即1＜sin a＋cos a≤

提示：

本题的关键是x、y与r的关系满足x2＋y2＝r2．关于≤的证明实际上是采用了倒推的方法：≤x＋y≤r(x＋y)2≤2r2(x＋y)2≤2(x2＋y2)x2＋2xy＋y2≤2x2＋2y22xy≤x2＋y2．