Question

已知函数f(x)＝的图像在点（为自然常数）处的切线斜率为3.

(Ⅰ)求实数的值

(Ⅱ)若，且对任意的恒成立，求得最大值

(Ⅲ)当时，证明

 

Answer 1

【答案】

（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）

因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，

所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．（2分）

（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，

所以对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．（3分）

令，则，（4分）

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分）

因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．

当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以函数在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．

．（7分）

所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．（8分）

（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，（9分）

所以当n＞m≥4时，．（10分）

即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．（11分）

因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）

即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．

即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）

所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）

证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx，（9分）

则f'（x）=（m﹣1）lnx+m﹣1﹣mlnm．（10分）

因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m﹣1）lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm＞0．

所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．（11分）

因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．

所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn＞m²lnm+mlnm﹣m²lnm﹣mlnm=0．（12分）

即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．

即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．

即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）

所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

【解析】略