题目内容

已知抛物线y2=2px(p＞0),若有过动点M（a,0）且斜率为1的直线l与抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p.(1)求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

思路解析：设出A、B两点的坐标，则得Equation.3，（1）即求证|Equation.3|≤2p;(2)若AB的垂直平分线交AB于Q，则可得Equation.3、Equation.3结合三角形面积公式易求.

解：（1）设A（,y1）,B(,y2),则Equation.3=(,y2-y1),Equation.3=(-a,y1),

Equation.3=(-a,y2).  ∵Equation.3与Equation.3共线，∴（-a）y2-(-a)y1=0y1y2=-2pa.

又直线l的斜率为1，∴y2-y1=y1+y2=2p.

∴|Equation.3|=|y2-y1|==.

由0＜|AB|≤2p可得-＜a≤-.

(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q（x,y），则

x==a+p,y==p,∴Equation.3=(p,p),|Equation.3|=p(定值).

∵|Equation.3|=|Equation.3|，∴S△NAB=|Equation.3|·|Equation.3|=p·|Equation.3|≤p2.

∴△NAB的最大面积为p2.


练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
（2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：
kMA+kMBkMF
是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．
（2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．
已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网