Question

当-π≤x≤π时，函数f（x）满足2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x，则f（x）是

1. A.
   奇函数
2. B.
   偶函数
3. C.
   非奇非偶函数
4. D.
   既奇又偶函数

Answer 1

A
分析：欲判断函数的奇偶性，只须验证f（-x）与f（x）的关系，故必须先由条件求得f（x）的解析式，考虑到将sinx看成整体，利用二倍角公式进行转换，即可达到目的．
解答：当-π≤x≤π时，cosx=，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=2t，①
从而：2f（t）+3f（-t）=-2t，②
由①②得：f（t）=2t，
当π≤x≤π时，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=-2t，
从而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
当-π≤x≤-π时，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=-2t，
从而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
∴当-π≤x≤π时，函数f（x）满足f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数．
故选A
点评：本小题主要考查函数奇偶性的判断、函数奇偶性的应用、函数解析式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．