Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且离心率e=

2

2

．
（I）求椭圆的方程
（II）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的长轴长为4，且离心率e=

2

2

，求出几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）设出AS的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，确定S的坐标，从而可得SB的方程，与直线x=3联立，求出N的坐标，进而可得|MN|，利用基本不等式，可得结论．

解答：解：（I）由题设可得2a=4，

c

a

=

2

2

∴a=2，c=

2

∴b²=a²-c²=2
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）由题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设AS的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，
可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
设S（x₁，y₁），则（-2）×x₁=

8k2-4

1+2k2

，∴x1=

2-4k2

1+2k2

，∴y1=

4k

1+2k2

∵B（2，0），可得SB的方程为

y-0

4k 1+2k2 -0

=

x-2

2-4k2 1+2k2 -2

化简可得y=-

1

2k

(x-2)
由

y=- 1 2k (x-2) x=3

，可得

x=3 y=- 1 2k

，∴N（3，-

1

2k

）
故|MN|=|5k+

1

2k

|
∵k＞0，∴|MN|=5k+

1

2k

≥

10

当且仅当5k=

1

2k

，即k=

10

10

时等号成立
∴k=

10

10

时，线段MN的长度的最小值为

10

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．