Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0且a为常数），F为其焦点．
（1）写出焦点F的坐标；
（2）过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，且，求直线PQ的斜率；
（3）若线段AC、BD是过抛物线焦点F的两条动弦，且满足AC⊥BD，如图所示．求四边形ABCD面积的最小值S（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的性质可知p=2a，进而焦点坐标为F（a，0）．
（2）假设点为P（x，y）、Q（x₁，y₁），然后表示出、，再根据可以得到（a-x，-y）=2（x₁-a，y₁），再由y₁²=4ax₁，y²=4ax，可确定，进而可得x=2a，y²=4ax=8a²，即，然后表示出直线PQ的斜率代入即可得到答案．
（3）设直线AC的斜率为k_AC=k（k≠0），可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S_{四边形ABCD}运用基本不等式可确定答案．
解答：解：（1）∵抛物线方程为y²=4ax（a＞0），∴焦点为F（a，0）．
（2）设满足题意的点为P（x，y）、Q（x₁，y₁）．
∵，
∴．
又y₁²=4ax₁，y²=4ax，
∴，．
∴．
（3）由题可知，直线AC既不平行x轴，也不平行y轴（否则AC，BD与抛物线不会有四个交点），
于是，设直线AC的斜率为k_AC=k（k≠0），则AC的方程为：y=k（x-a）．
联立方程组，化简得k²x²-2a（k²+2）x+k²a²=0（设点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）），
则x₁、x₂是此方程的两个根．
∴．
∴弦长
=
=
=．
又，∴．
于是，弦长．
∴
=（当且仅当，即k=±1时，等号成立）．
∴S（a）=32a²．
点评：本题主要考查抛物线和直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题一般作为高考的压轴题出现，要想解答正确，就必须对基础知识熟练掌握．