Question

已知函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=

1

71

时，f（x）取得最小值．

Answer 1

分析：本题中的函数是一个绝对值函数，可以利用绝对值不等式的性质|x-a|+|x-b|≥|a-b|求最值，为达到消去变量的目的，可将函数变形为f（x）═|x-1|+|x-

1

2

|+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

100

|，共有5050个绝对值相加，利用性质配对求最值即可．

解答：解：f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-

1

2

|+3|x-

1

3

|+…+100|x-

1

100

|
=|x-1|+|x-

1

2

|+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

100

|
共有（1+100）×100×

1

2

=5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
（注：|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离，
当x在a，b之间时，|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离）
所以f（x）的5050项 前后对应每两项相加，使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f（x）≥（1-

1

100

）+（

1

2

-

1

100

）+…+…当x在每一对a，b之间时，等号成立
由于70×（1+70）×

1

2

=2485
71×（71+1）×

1

2

=2556
所以f（x）最中间的两项（第2525，2526项）是|x-

1

71

|
所以f（x）≥（1-

1

100

）+（

1

2

-

1

100

）+…+（

1

71

-

1

71

）
当x=

1

71

时等号成立
则当x=

1

71

时f（x）取得最小值

点评：本题考查函数求最值的应用，由于本题是一个项数很多的绝对值函数求最值，所可以借助的工具只有绝对值的性质，消去变量，判断出最小值，为此将函数解析式变形为可以利用绝对值的性质是求解本题的关键，本题考查了判断推理能力，综合运用知识变形的能力，本题解题的难点有二，一是利用绝对值不等式的性质进行变形，一是根据变形后的形式判断出最值取到的位置，本题处理数据较难，需要较高的数学素养