Question

设定义在区间[-m，m]上的函数f(x)=log2

1+nx

1-2x

是奇函数，且f(-

1

4

)≠f(

1

4

)，则n^m的范围为

（1，

2

）

．

Answer 1

分析：由题意可得，m为正实数，f（-x）=-f（x），化简可得n=±2．再由f(-

1

4

)≠f(

1

4

)，可得f（

1

4

）≠0，只有n=2．再由函数的解析式解求得函数的定义域为（-

1

2

，

1

2

）．根据函数f（x）定义在区间[-m，m]上，可得0＜m＜

1

2

，从而求得n^m 的范围．

解答：解：由题意可得，m为正实数，f（-x）=-f（x），即 log2

1-nx

1+2x

=-log2

1+nx

1-2x

．
化简可得 log2

1-(nx)2

1-4x2

=0，n=±2．
再由f(-

1

4

)≠f(

1

4

)，可得f（

1

4

）≠0，故有

1+ n 4

1- 1 2

≠1，n≠-2，故n=2．
再由函数的解析式为f（x）=log2

1+2x

1-2x

，可得

1+2x

1-2x

＞0，即

2x+1

2x-1

＜0，（2x+1）（2x-1）＜0，
解得-

1

2

＜x＜

1

2

，故函数的定义域为 （-

1

2

，

1

2

）．
再由函数f（x）定义在区间[-m，m]上，可得0＜m＜

1

2

，故 1＜n^m＜

2

，即 1＜n^m＜

2

，
故答案为 （1，

2

）．

点评：本题主要求函数的奇偶性，求函数的定义域，不等式的性质，属于基础题．