Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点（4，-）
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出 •的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出 •=0，即可证明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
解答：解：（Ⅰ）∵离心率e=
∴设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
则由点（4，-）在双曲线上
知λ=4²-（-）²=6
∴双曲线方程为x²-y²=6
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上
则3²-m²=6∴m²=3
由双曲线x²-y²=6知F₁（2，0），F₂（-2，0）
∴
∴，故点M在以F₁F₂为直径的双曲线上．
（Ⅲ）S_△F1MF2=×2C×|M|=C|M|=2×=6
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．