Question

一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出

现的点数之和大于n²就算过关.问：

(1)某人在这项游戏中最多能过几关?

(2)他连过前3关的概率是多少?

Answer 1

解析：∵(1)点数最大为6，抛掷n次点数之和的最大值为6n，且6×4＞4²，6×5＞5²，6×6=6²,6×7＜7²，…，∴当n≥6时，点数之和不可能大于n²，即过关的概率为0.∴最多连过5关.

(2)设第n次过关为事件A_n，则基本事件总数为6ⁿ.

第一关：由1²=1，故只要点数不小于2即过关，

∴P(A₁)=.

第二关：由2²=4,表示不能过2关.依次取a=2,3,4,解不定方程x+y=a，

共有整数解：++=6(组).

∴P(A₂)=1-P()=1-=;

第三关：3²=9，表示不能过3关.依次取a=3,4,…,9,解不定方程x+y+z=a，共有整数解：++…++(-3)=-3=81.(注：3表示x,y,z分别取7、1、1；1、7、1；1、1、7这种情形，不可能，应去掉).

∴P(A₃)=1-P()=1-∴连过3关的概率P=.