Question

（2012•宿州一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n和a_n-1的关系式；
（3）猜想用n和b表示a_n的表达式（须化简），并证明之．

Answer 1

分析：（1）根据Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)，分别将n=1、2代入，即可得到结论；
（2）n≥2时，Sn-1=-ban-1+1-

1

(1+b)n-1

，Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，两式相减，化简可得a_n和a_n-1的关系式；
（3）猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

．用数学归纳法证明猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

成立，证题时要利用到归纳假设．

解答：解：（1）由Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)
当n=1时，S1=a1=-ba1+1-

1

1+b

，∴a1=

b

(1+b)2

当n=2时，S2=a1+a2=-ba2+1-

1

(1+b)2

，∴a2=

b+b2

(1+b)3

（2）n≥2时，Sn-1=-ban-1+1-

1

(1+b)n-1

∵Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，两式相减，化简可得an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

（3）由（1）得：a1=

b

(1+b)2

；a2=

b+b2

(1+b)3

；
由an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

得：a3=

b+b2+b3

(1+b)4

；
猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

                       …（8分）
下面用数学归纳法证明猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

成立．
（i）当n=1时，a1=

b

(1+b)2

，成立；
（ii）假设n=k时成立，即ak=

b+b2+…bk

(1+b)k+1

，
当n=k+1时，∵an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

∴ak+1=

b

1+b

ak+

b

(1+b)k+2

=

b

1+b

×

b+b2+…bk

(1+b)k+1

+

b

(1+b)k+2

=

b+b2+…bk+1

(1+b)k+2

所以，当n=k+1时也成立．…（12分）
由（i）（ii）可知，对一切自然数n都成立，即通项为：an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

=

n 2n+1 (b=1) b-bn+1 (1-b)(1+b)n+1 (b≠1)

…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，解题的关键是正确运用数列递推式，掌握数学归纳法的证题步骤．