题目内容

17．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　）
A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5

分析 先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．

解答 解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．

点评 本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．

练习册系列答案
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A．3B．6C．9D．12
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A．-iB．iC．1D．-1
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