Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-3n，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足

b1

1

+

b2

3

+…+

bn

2n-1

=

an

3

，n∈N*，求数列{b_n}的通项公式和它的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”转化为a_n=4a_n-1+3，变形为a_n+1=4（a_n-1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用通项公式与前n项和的关系可得b_n，再利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答：解：（I）当n=1时，3a₁=4a₁-3，a₁=3；
当n≥2时，3a_n=3（S_n-S_n-1）=4a_n-3n-[4a_n-1-3（n-1）]=4a_n-4a_n-1-3，
∴a_n=4a_n-1+3，a_n+1=4（a_n-1+1），
∴{a_n+1}为以4为公比的等比数列，首项为a₁+1=4，
∴an+1=4×4n-1，
∴an=4n-1．
（II）当n=1时，b₁=1；
当n≥2时，

b1

1

+

b2

3

+…+

bn

2n-1

=

an

3

，n∈N*，

b1

1

+

b2

3

+…+

bn-1

2n-3

=

an-1

3

，
两式相减得：

bn

2n-1

=4n-1，∴bn=(2n-1)4n-1，
又n=1时，b₁=1适合b_n，∴bn=(2n-1)4n-1．
∴T_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）•4^n-1，
4Tn=4+3×42+…+(2n-3)•4n-1+（2n-1）•4ⁿ，
∴-3Tn=1+2×(4+42+…+4n-1)-（2n-1）•4ⁿ=1+2×

4(4n-1-1)

4-1

-(2n-1)•4n=-

5

3

+

(5-6n)•4n

3

．
∴Tn=

5

9

+

6n-5

9

4n．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．