Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当x∈[6，8]时，f（x）=cos（x-6）
（1）求x∈[-2，2]时，f（x）的表达式；
（2）若f(sinθ+cosθ)＞f(

1+2sin2θ

)(θ∈R)，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用函数的周期性求出x∈[-2，0]时函数的解析式，再利用函数的奇偶性求出函数x∈（0，2]时的解析式，即可得函数f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）利用函数的对称性和单调性，发现此函数在[-2，2]上自变量的绝对值越小函数值越大，故将不等式转化为绝对值三角不等式，即可解得θ的范围．

解答：解：（1）设x∈[-2，0]，则x+8∈[6，8]，
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]时，f（x）=cos（x+2）
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]时，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=

cos(x+2)  x∈[-2，0] cos(-x+2)  x∈(0，2]

（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，-2＜

1+2sin2θ

＜2
且由（1）知f（x）在[-2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，函数图象关于y轴对称
∴f(sinθ+cosθ)＞f(

1+2sin2θ

)(θ∈R)
?|sinθ+cosθ|＜|

1+2sin2θ

|
?（sinθ+cosθ）²＜1+2sin²θ
?1+sin2θ＜1+1-cos2θ
?sin2θ+cos2θ＜1
?

2

sin（2θ+

π

4

）＜1
?sin（2θ+

π

4

）＜

2

2

∴-

5π

4

+2kπ＜2θ+

π

4

＜2kπ+

π

4

  （k∈Z）
∴-

3π

4

+kπ＜θ＜kπ  （k∈Z）

点评：本题考查了利用函数的周期性和对称性求函数解析式的方法，综合利用单调性和奇偶性解不等式的方法，三角不等式的解法，转化化归的思想方法