Question

（2007•红桥区一模）已知函数f（x）=e^x-x，
（Ⅰ）若f（x）上某点的切线平行于x轴，求这点的坐标及切线方程；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切线与x轴平行即切线的斜率k=0，令导函数等于0可求出切点横坐标，从而得到切点坐标与切线方程；
（Ⅱ）由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵y′=e^x-1  …（2分）
又切线与x轴平行，∴切线的斜率k=0．…（3分）
∴令y′=e^x-1=0，得x=0．…（4分）
∴切点坐标为（0，1）．…（5分）
∴切线方程为y=1．…（6分）
（Ⅱ）证明：不妨设F（x）=e^x-x-1，…（8分）
则F（x）=（e^x）′-（x）′=e^x-1．…（9分）
∵x＞0，∴e^x＞1，e^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，…（10分）
当x＞0时，F（x）＞F（0），即e^x-x-1＞e⁰-1=0．
∴f（x）＞1．…（12分）

点评：本题考查利用导数证明不等式的问题．解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解．