Question

已知等比数列{a_n}的公比不为1，其前n项和为S_n，若向量向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），满足（4

i

-

j

）•

k

=0，则

S5

a1

=

 

．

Answer 1

分析：根据所给的向量的坐标，写出向量的坐标，根据两个向量的数量积为零，得到关于数列的前三项之间的关系，约去首项得到关于公比的一元二次方程，把要求的比值代入前n项和，约分代入结果．

解答：解：∵向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），
∴（4

i

-

j

）=（3a₁，4a₂-a₃），
∴（4

i

-

j

）•

k

=-3a₁+4a₂-a₃=0
∴3a₁+a₃=4a₂，
∴3+q²=4q，
∴q²-4q+3=0，
∵等比数列{a_n}的公比不为1，
∴q=3，
∴

S5

a1

=

1-q5

1-q

=

1-243

1-3

=121，
故答案为：121．

点评：本题考查向量的数量积和等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的三项之间的关系，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．