Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2011）．

Answer 1

解：（1）f（x）=Asin²（ωx+φ）==-，
且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，A＞0，
∴=2，∴A=2． …（2分）
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，∴，ω=． …（4分）
∴f（x）=1-cos（）．
再由f（x）=的图象过点（1，2）可得 2=1-cos（），可得 cos（）=-1，．
∴=2kπ+π，k∈z，解得 φ=kπ+，k∈z．
又0＜φ＜，∴φ=．…（6分）
（2）由上可得 f（x）=1+sin（）∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，．-------8′
由于函数f（x）的周期为4，2011=502×4+3，--------10′
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）=502×4+3=2011．---------…（12分）
分析：（1）利用二倍角公式求出f（x）的解析式，由最值求出A，由周期求出ω，再由图象过定点（1，2）求出φ的值．
（2）由（1）可得 f（x）=1+sin（） 求得 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，由于函数f（x）的周期为4，2011=502×4+3，可得f（1）+f（2）+…+f（2011）=502×4+3，运算求得解果．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，二倍角公式，利用函数的周期性求函数值，属于中档题．