Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形，求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理化简（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（C+B）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即16=a²+c²-ac，
∵a²+c²≥2ac（当且仅当时取“=”号），
∴16=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．