Question

求经过直线3x＋2y＋6=0和2x＋5y－7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

Answer 1

解法一:由方程组得

∴两已知直线的交点为(－4，3).

当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等.

∴所求直线的方程为y=－x，即3x＋4y=0.

当所求直线不过原点时，

设所求直线方程为x＋y=a.

∵点(－4，3)在直线x＋y=a上，

∴－4＋3=a，a=－1.

故所求直线方程为x＋y＋1=0.

综上所述，所求直线方程为

3x＋4y=0或x＋y＋1=0.

解法二:∵所求直线经过直线3x＋2y＋6=0和直线2x＋5y－7=0的交点，所以可设所求直线的方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)=0.(*)

在(*)式中，令x=0得y=,

令y=0得x=.

由题意,得=，

∴λ=或λ=.

把λ=和λ=分别代入(*)式整理,即得3x＋4y=0和x＋y＋1=0.

点评:解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形,故而没有直接设成＋=1的形式;解法二中用到了过两直线A₁x＋B₁y＋C₁=0与A₂x＋B₂y＋C₂=0的交点的直线系方程：    A₁x＋B₁y＋C₁＋λ(A₂x＋B₂y＋C₂)=0.