Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）

• A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
• B．y=f(x)的图象关于x=

  π

  2

  对称
• C．f(x)的最大值为

  3

  2

• D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer 1

分析：根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1-sin²x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为

4 3

9

，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=-cosxsin2x，
f（π-x）=cos（π-x）sin（2π-2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π-x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（

π

2

+x）=cos（

π

2

+x）sin（π+2x）=-sinx（-sin2x）=sinxsin2x，
f（

π

2

-x）=cos（

π

2

-x）sin（π-2x）=sinxsin2x，所以f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos²xsinx=2sinx（1-sin²x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1-t²），-1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1-t²）的导数g'（t）=2-6t²=2（1+

3

t）（1-

3

t）
∴当t∈（-1，-

3

3

）时或t∈（

3

3

，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（-

3

3

，

3

3

）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=-1时或t=

3

3

时的函数值，
结合g（-1）=0＜g（

3

3

）=

4 3

9

，可得g（t）的最大值为

4 3

9

．
由此可得f（x）的最大值为

4 3

9

而不是

3

2

，故C不正确；
对于D，因为f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C

点评：本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．