Question

已知圆x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0（m∈R）.

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

Answer 1

（1）证明略（2）当-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；

当b=±5-3时，直线与圆相切；当b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.

（3）证明略

解析:

（1）证明 配方得：（x-3m）²+［y-（m-1）］²=25，

设圆心为（x，y），则消去m得

l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.

（2）解 设与l平行的直线是l₁：x-3y+b=0，

则圆心到直线l₁的距离为

d=.

∵圆的半径为r=5，

∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；

当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切；

当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.

（3）证明  对于任一条平行于l且与圆相交的直线l₁：x-3y+b=0，由于圆心到直线l₁的距离d=，

弦长=2且r和d均为常量.

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.