Question

已知数列{a_n}满足：a1=1， an+1=

1 2 an+n  (n为奇数 n∈N*) an-2n  (n为偶数 n∈N*)

．
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知cn=log

1

2

|bn|，求证：

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cn-1cn

＜1．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的递推关系直接可求；（2）利用a1=1，an+1=

1 2 an+n  (n为奇数 n∈N*) an-2n  (n为偶数 n∈N*)

，可得

bn+1

bn

=

1

2

，所以数列{b_n}是公比为

1

2

，首项为-

1

2

的等比数列，进一步可求其通项公式；
（3）易得c_n=n，再利用裂项求和法求和，进而证得结论．

解答：解：（1）由数列{a_n}的递推关系易知：a2=

3

2

，a3=-

5

2

．（2分）
（2）bn+1=a2n+2-2=

1

2

a2n+1+(2n+1)-2=

1

2

a2n+1+(2n-1)=

1

2

(a2n-4n)+(2n-1)
=

1

2

a2n-1=

1

2

(a2n-2)=

1

2

bn．（6分）
又b1=a2-2=-

1

2

，∴bn≠0， ∴

bn+1

bn

=

1

2

，
即数列{b_n}是公比为

1

2

，首项为-

1

2

的等比数列，bn=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．（7分）
（3）由（2）有cn=log

1

2

|bn|=log

1

2

(

1

2

)n=n．（8分）
∵

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．（10分）
∴

1

c1c2

+

1

c2c3

++

1

cn-1cn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．（14分）

点评：本题考查了数列的递推公式的运用、利用定义法证明等比数列：要证数列{bn}为等比数列?

bn

bn-1

=q≠0．