Question

【题目】化简： =（用m、n表示）．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设f（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+3（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n﹣1…①，
则f（x）中含xm 项的系数为 +2 +3 +…+n
∴（1+x）f（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n…②，
①﹣②可得﹣xf（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2+…+（1+x）m+n﹣1﹣n（1+x）m+n ，
= ﹣n（1+x）m+n ，
∴x2f（x）=（1+x）m﹣（1+x）m+n+nx（1+x）m+n ，
故f（x）中含xm项的系数即 x2f（x）中含xm+2项的系数，
而x2f（x）中含xm+2项的系数为
﹣ +n =﹣ +
=
= ，
∴Cmm+2Cmm+1+3Cmm+2+…+nCmm+n﹣1= Cm+1m+n（m，n∈N*）；
∴ = ．
所以答案是： ．
【考点精析】本题主要考查了组合与组合数的公式的相关知识点，需要掌握从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合才能正确解答此题．