Question

过点F（0，1）作直线l与抛物线x²=4y相交于两点A、B，圆C：x²+（y+1）²=1
（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；
（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求抛物线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标，从而可求直线方程；
（2）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，与x²=4y联立，再分别表示出各线段长，即可求得|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²=4y，得y/=

1

2

x，则过点B的切线方程为：

x2

2

x-y+y2-

x 2 2

2

=0
由已知：点B处的切线恰好与圆C相切，y2=

x 2 2

4

∴x2=±2

3

，y2=3，即点B坐标为(±2

3

，3)，
∴直线l的方程为：y=±

3

3

x+1
（Ⅱ）
法一：由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，
联立x²=4y，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∴x₁²+x₂²=16k²+8
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=（-2-2k²）x₁x₂-4k（x₁+x₂）-6=-8k²+2≤2
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围是（-∞，2]
法二：根据题意，连接AC、AB﹑EC﹑ED．设直线l的方程为：y=kx+1，
联立x²=4y可得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
|AE|²=|AC|²-|EC|²=x₁²+（y₁+1）²-1．
同理，|BD|²=x₂²+（y₂+1）²-1．
又|AB|²=（y₁+y₂+2）²
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=2x₁x₂+4（x₁+x₂）-（y₁²+y₂²）-2（y₁+y₂）+4=-8k²+2≤2．
∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围是（-∞，2]

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点