Question

一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A₁的正上方有一个光源A，AA₁与球相切，AA₁=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA₁的截面，可得直角三角形AOA₁，在此三角形中利用切线长定理，利用三角形的面积等式求出A₁A₂，再根据椭圆的几何性质，求出椭圆的参数a、c，即可求出椭圆的离心率．
解答：解：如图是过圆锥的轴与椭圆长轴A₁A₂的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴A₁A₂的切点是椭圆的焦点F，AA1⊥A₁A₂
设光线AA₁与球相切于点E，AA₂与球相切于点D，
且AF等于内切圆的半径也即球的半径，即A₁E=A₁F=2，
AA₁=6，
根据切线长定理得：A₁E=A₁F=2，AE=AD=AA₁-A₁E=4，
设FA₂=x，由三角形面积公式得：
（AA₁+A₁A₂+AA₂）r=AA₁•AA₂
∴（2+x+6+4+x）=×6×（2+x），
⇒x=6，
∴A₁A₂=8
根据椭圆的几何性质，得长轴A₁A₂=2a=8，⇒a=4，
AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c=2
∴c=2，
∴
所以所求椭圆的离心率为
故选A．
点评：本题以中心投影及中心投影作图法，考查了椭圆的简单性质，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．