Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA丄底面ABCD，AE丄PD于E，EF∥CD交PC于F，点M在AB上，且AM=EF．
（I）求证MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（II）若PA=2AB，求二面角E-AB-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用矩形，以及直线与直线的判定定理证明AM⊥MF，MF⊥PC，推出MF是AB与PC的公垂线；
（II）先判断∠EAD为二面角E-AB-D的平面角，再利用PA=2AB，可得二面角E-AB-D的正弦值．

解答：（I）证明：因为PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥面PAD，
∵AE?面PAD，
∴BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
∴AEFM是矩形，∴AM⊥MF．
又因AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD=D，故AE⊥面PCD，
∵MF∥AE，∴MF⊥面PCD，
∴MF⊥PC，
∴MF是AB与PC的公垂线．
（II）由（I）知AB⊥面PAD，∴∠EAD为二面角E-AB-D的平面角
∵PA⊥AD，AE⊥PD，∴∠EAD=∠APD
∵PA=2AB，∴sin∠APD=

AD

PD

=

5

5

∴二面角E-AB-D的正弦值为

5

5

．

点评：本题考查异面直线的公垂线的证明，平面与平面所成角的正弦值的求法，属于中档题．