题目内容

已知点P是双曲线 $数学公式$ 的一个交点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，则该双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

D
分析：根据双曲线基本量的平方关系，可得圆x²+y²=a²+b²的半径为c，经过F₁和F₂．由此可得Rt△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=30°且∠PF₂F₁=60°，得到|PF₁|= $\text{[math]}$ 且|PF₂|=c，再用双曲线的定义及离心率公式即可算出该双曲线的离心率．
解答：∵双曲线方程为 $\text{[math]}$
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c= $\text{[math]}$
∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂．
∵点P是双曲线 $\text{[math]}$ 与圆x²+y²=a²+b²的交点，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c= $\text{[math]}$ |F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|= $\text{[math]}$ ，|PF₂|=c
根据双曲线定义，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（ $\text{[math]}$ -1）c
∴双曲线的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选：D
点评：本题给出双曲线与圆相交，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识，属于基础题．