Question

为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）
（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．
（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，由此能求出甲校获胜的概率．
（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5．由题设条件知P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)3=

1

4

，P(ξ=4)=

C

1 2

C

2 3

(

1

2

)4=

3

8

，P(ξ=5)=

C

1 2

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

，由此能求出ξ的数学期望．

解答：解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是(

1

2

)3+

C

2 3

(

1

2

)4=

5

16

（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)3=

1

4

P(ξ=4)=

C

1 2

C

2 3

(

1

2

)4=

3

8

P(ξ=5)=

C

1 2

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

所以ξ的分布列为

ξ	3	4	5
P	1 4	3 8	3 8

数学期望Eξ=3×

1

4

+4×

3

8

+5×

3

8

=

33

8

．

点评：本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．