Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．
（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AB=2，求三棱锥B-CED的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知，易证出BE⊥PC，DE⊥PC，所以可证PC⊥平面BDE；
（2）若点Q是线段PA上任一点，则动直线DQ形成平面PAC，考察BD和平面PAC的关系来判断BD、DQ的位置关系．
（3）利用V _B-CED=

1

3

S_△DEC•BD可求体积．

解答：解：（1）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC，且DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE；
（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD  
同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，
又PA∩PC=P，
∴BD⊥面APC，
DQ?面APC，
∴BD⊥DQ．
所以点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ
 （3）∵PA=AB=2，
∴PB=BC=2

2

，
∵AB⊥BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=2

2

．AC=2

3

∴CD=

BC2

AC

=

4 3

3

2

3

，即S_△DCB=

2

3

S_△ABC，又E是PC的中点
∴V _B-CED=

1

9

S_△ABC•PA=

4 2

9

．

点评：本题考查直线和直线、直线和平面垂直关系的判定，几何体体积计算．考察空间想象能力、计算能力、推理论证能力．