题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2+2a)x，a∈R．
（1）当a=-2时，求f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值与最小值；
（2）若线段AB：y=2x+3（0≤x≤2）与导函数y=f'（x）的图象只有一个交点，且交点在线段AB的内部，试求a的取值范围．
（1）当a=-2时，f(x)=
1
3
x3+2x2．（1分）
求导得f'（x）=x2+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
f'（x） - 0 +
f（x）
5
3
 ↘ 0 ↗
7
3
所以，f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值是
7
3
，最小值是0．（7分）
（2）y=f'（x）=x2-2ax+a2+2a．（8分）
联立方程组
y=x2-2ax+a2+2a
y=2x+3
（9分）
得x2-2（a+1）x+a2+2a-3=0．（10分）
设g（x）=x2-2（a+1）x+a2+2a-3，则方程g（x）=0在区间（0，2）内只有一根，
相当于g（0）•g（2）＜0，即（a2+2a-3）•（a2-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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