Question

已知动圆C与定圆相外切，与定圆内相切．
（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+l（k≠0）与C的轨迹交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由动圆C与定圆相外切，与定圆内相切，结合两圆之间位置关系的性质，可得C到C₃和C₂的和为定值，进而由椭圆的定义得到C的轨迹方程；
（2）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆的标准方程，利用韦达定理求出M，N的坐标，代入MN的垂直平分线方程，可求出k值．
解答：解：（1）∵的方程可化为
圆的方程可化为
设动圆C的半径为r，则
|CC₃|=+r，|CC₂|=-r，
∴|CC₃|+|CC₂|=4
∴C的轨迹是以C₃和C₂为焦点，长轴为4的椭圆
∴C的轨迹方程为
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kx-8=0
则x₁+x₂=，x₁•x₂=
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
则线段MN的中点P的坐标为（，）
由线段MN的垂直平分线过定点，
设MN的垂直平分线l的方程为y=-（x-）
∵P点在l上
∴=-（-）
即4k²+8k+3=0
解得k=，或k=
点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，直线与椭圆的位置关系，其中根据已知求出C的轨迹方程是解答的关键．