Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：过A作AH⊥BP于H，连CH，由于将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，故有AH⊥面BCP．在Rt△ABH中，可求AH，BH=3cosθ．在△BHC中，可求CH，在Rt△ACH中，可得AC²=25-12sin2θ，故可求AC长的最小值．

解答：解：过A作AH⊥BP于H，连CH，
∴AH⊥面BCP．∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH²=（3cosθ）²+4²-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，AC²=25-12sin2θ，∴θ=45°时，AC长最小；
故选B．

点评：本题以平面图形的翻折为依托，研究线段的最值，关键是搞清翻折前后的变与不变．