题目内容

如图,在矩形ABCD中,已知AD=2,AB=a(a>2),E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点,若AE=AF=CG=CH,问AE取何值时,四边形EFGH的面积最大?并求最大的面积.
分析:设AE=x,四边形EFGH的面积为S,则可知S=2a-x2-(2-x)(a-x),化简并配方得S=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2],即函数的对称轴为x=
a+2
4
,从而分类讨论可求函数的最大值.
解答:解:设AE=x,四边形EFGH的面积为S,则-----------------------------------------(1分)
S=2a-x2-(2-x)(a-x)
=-2x2+(a+2)x
=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2]
(1)若
a+2
4
≤2
,即2<a≤6,则当x=
a+2
4
时,S取得最大值是Smax=
(a+2)2
8
;--(8分)
(2)若
a+2
4
>2
,即a>6,函数S=-2x2+(a+2)x在区间(0,2]上是增函数,
则当x=2时,S取得最大值是Smax=2a-4;------(12分)
综上可得面积EFGH的最大值为
(a+2)2
8
       ,2<a≤6
2a-4               ,a>6
点评:本题以实际问题为载体,考查二次函数模型的构建,考查二次函数在闭区间上的最值讨论,解题的关键是针对函数的定义域,结合函数的对称轴分类讨论.
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