Question

已知f（x）=x²+x．，数列{a_n}的首项a₁＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）比较a_n+1与a_n的大小
（2）判断并证明数列{a_n}是否能构成等比数列？
（3）若a1=

1

2

，求证：1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，a₂=a₁²+a₁＞0，依次递推，得a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．由此能够比较a_n+1与a_n的大小．
（2）若{a_n}为等比数列，设公比为q，则

an+1

an

=an+1=q⇒an=q-1为常数，由此能够证明{a_n}不能为等比数列．
（3）由

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，知

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

．由此能够证明1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，
a₂=a₁²+a₁＞0，
依次递推
得，a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．
所以?n∈N*，a_n+1＞a_n．
（2）若{a_n}为等比数列，设公比为q，
则

an+1

an

=an+1=q⇒an=q-1为常数，
所以q=1，即a_n=0．
所以{a_n}不能为等比数列．
（3）因为

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
所以

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

因为a2=

3

4

，a3=

21

16

＞1，
所以a_n+1≥a₃＞1（n≥2），
0＜

1

an+1

＜1，
即1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．