题目内容

设P $数学公式$ 在 $数学公式$ 内单调递增， $数学公式$ ，则q是p的

A.
充分必要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

B
分析：首先由f（x）在 $\text{[math]}$ 内单调递增，得f′（x）≥0恒成立；然后利用分离参数的方法，得到m≥ $\text{[math]}$ 恒成立；再利用换元法，令t= $\text{[math]}$ ，得g（t）= $\text{[math]}$ =-t³-4t²+3t；随后结合导数法求出g（t）的最大值，即得m的取值范围；最后判断出q是p的充分不必要条件．
解答：∵ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递增，
∴在 $\text{[math]}$ 内，f′（x）= $\text{[math]}$ +mx²-3x+4= $\text{[math]}$ ≥0恒成立．
即mx³-3x²+4x+1≥0，亦即m≥ $\text{[math]}$ 恒成立．
令t= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =-t³-4t²+3t，
设g（t）=-t³-4t²+3t，则g′（t）=-3t²-8t+3．
由g′（t）=-3t²-8t+3=0得t=-3或 $\text{[math]}$ ．
∵x∈ $\text{[math]}$ ∴t∈ $\text{[math]}$
∴在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内，g′（t）＞0；在（ $\text{[math]}$ ，6]内，g′（t）＜0．
∴[g（t）]_max=g（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
∴m≥ $\text{[math]}$ 即可．
又∵ $\text{[math]}$ ，∴q是p的充分不必要条件．
故选B．
点评：本题主要考查了导数法解决函数的单调性及最值，同时考查了换元法、分离参数法及充分必要条件的知识，是一道非常综合的题目．