Question

（本题满分14分）已知正四棱锥的底面边长为，为中点．

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）若是二面角的平面角，求直线与平面所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）直线与平面所成角的余弦值为

【解析】本题主要考查立体几何线面平行、直线与平面所成的角和二面角，同时考查空间想象能力和推理论证能力.

（1）利用线面平行的判定定理可以证明该结论。

（2）而线面角的求解可以运用三垂线制作出角，然后借助于直角三角形求解得到结论。

（Ⅰ）解：连结与交于点,连结.

又平面,平面.

平面.

（Ⅱ）解：是二面角的平面角,

,

平面，

取中点,连结,交于点,则,

又侧棱长为

平面，

就是直线与平面所成的角.

又则

故直线与平面所成角的余弦值为

（用等体积法或者空间向量等方法同样给分）