Question

已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2，g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+6x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，+∞）f（x）≤g′（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在[t，2t]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A及在A处的切线斜率为2，列方程组即可解得；
（Ⅱ）f（x）≤g′（x），分离出参数a后构造函数，转化为函数最值问题解决；
（III）求导函数，确定函数的单调性，进而可求函数f（x）=xlnx在区间[t，2t]（t＞0）上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A（e，e），所以em+n=e，①
f′（x）=mlnx+m+

n

x

，所以2m+

n

e

=2，②
联立①②解得m=1，n=0，
所以f（x）=xlnx．
（Ⅱ）由题意知，g′（x）=x²+ax+6，
f（x）≤g′（x），即xlnx≤x²+ax+6，
故a≥lnx-x-

6

x

对任意x∈（0，+∞）成立，
令h（x）=lnx-x-

6

x

（x＞0），
则h′（x）=

1

x

-1+

6

x2

=

-x2+x+6

x2

=-

x2-x-6

x2

=-

(x+2)(x-3)

x2

．
令h′（x）=0，因为x＞0，则x=3，
当0＜x＜3时，h′（x）＞0，当x＞3时，h′（x）＜0，
∴x=3时h（x）取最大值，h（x）_max=ln3-5．
故a≥ln3-5．所以实数a的取值范围为[ln3-5，+∞）．
（III）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
①当t＜

1

e

＜2t时，即

1

2e

＜t＜

1

e

时，f（x）min=f（

1

e

）=-

1

e

； 
②当t≥

1

e

时，f（x）在[t，2t]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
③当2t≤

1

e

时，0＜t≤

1

2e

时，f（x）在[t，2t]上单调递减，f（x）_min=f（2t）=2tln2t；          
所以f（x）_min=

tlnt，t≥ 1 e - 1 e ， 1 2e ＜t＜ 1 e 2tln2t，t≤ 1 2e

．

点评：本题考查导数的几何意义、应用导数求函数的最值问题，属中档题．恒成立问题往往转化为函数的最值问题处理．